Ηλεκτρικές Μηχανές Ι
11/22/2017

Virtual Lab - Transformer

Εργαστήριο Ηλεκτρικών Μηχανών και Ηλεκτρονικών Ισχύος

Εικονικό Εργαστήριο Υπολογιστικών Μεθόδων Ανάλυσης Ηλεκτρικών Μηχανών

Πεδιακή ανάλυση σε μετασχηματιστή

 

Εισαγωγή

Μαγνητοστατικά προβλήματα και εξισώσεις του Maxwell

Συνοριακές συνθήκες

Επίλυση προβλημάτων με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων

Το πρόγραμμα MagNet

Ανάλυση μαγνητικών πεδίων μετασχηματιστή

Εφαρμογές για κατανόηση και εξάσκηση 

Αποτελέσματα υπολογισμών

Finite Element Method Magnetics Software Download


Εικονικά Εργαστήρια


Εισαγωγή

Σκοπός αυτών των σελίδων είναι να δώσουν στο χρήστη τις βασικές πληροφορίες σχετικά με τα προβλήματα τα οποία επιλύνουν τα διάφορα προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων και ειδικότερα αυτά τα οποία αφορούν στον ηλεκτρομαγνητισμό. Ο τομέας αυτός, δηλαδή ο υπολογιστικός ηλεκτρομαγνητισμός με την βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή, γνωρίζει τα τελευταία χρόνια ταχεία ανάπτυξη. Η αύξηση της υπολογιστικής ισχύος των υπολογιστών καθώς και η συνεχής επιστημονική έρευνα έχει οδηγήσει στην δημιουργία εμπορικών πακέτων λογισμικού με τεράστιες υπολογιστικές δυνατότητες (σε σχέση με το πρόσφατο ακόμα παρελθόν) αλλά και αυξημένης φιλικότητας προς το χρήστη. Όλα τα εκπαιδευτικά και ερευνητικά ιδρύματα καθώς και αρκετές εταιρίες χρησιμοποιούν ή αναπτύσσουν πακέτα λογισμικού σχετικά με την σχεδίαση ηλεκτρομαγνητικών διατάξεων με τον υπολογιστή (Computer Aided Design in Magnetics). Οι περιοχές εφαρμογής περιλαμβάνουν ηλεκτρικές μηχανές, μετασχηματιστές και πηνία, ηλεκτρομαγνητικούς ενεργοποιητές, επαγωγική θέρμανση, μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας, ρομποτική και μικρορομποτική, μη καταστροφικό έλεγχο, ηλεκτρομαγνητική συμβατότητα, συστήματα μεταφοράς κ.λ.π. Η λίστα αυτή αυξάνει συνέχεια σε μέγεθος καθώς η έρευνα επεκτείνει συνεχώς τα πεδία εφαρμογής του υπολογιστικού ηλεκτρομαγνητισμού. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να αντλήσει σχετικές πληροφορίες από σχετικά επιστημονικά και επαγγελματικά περιοδικά (IEEE Transactions, IEE Proceedings, COMPEL) καθώς και από την βασική βιβλιογραφία που παρατίθεται σε αυτές τις σελίδες. Επίσης σημαντική πηγή πληροφοριών αποτελεί το διαδίκτυο.

Μαγνητοστατικά προβλήματα και εξισώσεις του Maxwell

Το πρώτο και σημαντικό βήμα στην ανάλυση και σχεδίαση των ηλεκτρομαγνητικών διατάξεων είναι η δημιουργία του υπολογιστικού μοντέλου του φυσικού προβλήματος. Η επιλογή του κατάλληλου μοντέλου είναι μια κρίσιμη διαδικασία και αποτελεί το σημείο αλληλεπίδρασης του μηχανικού και του πακέτου λογισμικού. Αυτό με άλλα λόγια σημαίνει ότι στην καλύτερη περίπτωση το φυσικό πρόβλημα δεν μπορεί να προσεγγισθεί με μεγαλύτερη ακρίβεια από όση επιτρέπει το αντίστοιχο υπολογιστικό μοντέλο. Από την άλλη πλευρά το καλύτερο υπολογιστικό μοντέλο, το οποίο προσεγγίζει άριστα το φυσικό πρόβλημα, μπορεί να οδηγηθεί σε πλήρη αποτυχία αν δεν ληφθούν υπόψη οι περιορισμοί, οι δυνατότητες και οι ιδιαιτερότητες του προγράμματος.

Στις σελίδες που ακολουθούν θα ασχοληθούμε με την ανάλυση ηλεκτρομαγνητικών διατάξεων στις οποίες οι πηγές διέγερσης των πεδίων (κυρίως ηλεκτρικά ρεύματα) χαρακτηρίζονται από σχετικά αργή μεταβολή. Σε αυτά τα προβλήματα τα ρεύματα μετατόπισης μπορούν να αγνοηθούν και οι εξισώσεις του Maxwell έχουν τη μορφή:  

(1)

Οι παραπάνω σχέσεις συμπληρώνονται με την σχέση που συνδέει τα πεδία για κάθε υλικό:  

(2)

Εάν το υλικό είναι μη γραμμικό η μαγνητική διαπερατότητα μ είναι συνάρτηση του πεδίου Β:  

(3}

Η εύρεση του πεδίου το οποίο ικανοποιεί τις παραπάνω σχέσεις γίνεται με τη χρήση του μαγνητικού διανυσματικού δυναμικού. Το διανυσματικό δυναμικό, Α, εξορισμού ικανοποιεί τη σχέση:  

(4)

Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό η σχέση (1) μπορεί να ξαναγραφεί στη μορφή:  

(5)

Στη γενική περίπτωση των τρισδιάστατων προβλημάτων το διανυσματικό δυναμικό, Α, διαθέτει τρεις συνιστώσες. Στην ειδική περίπτωση όμως των δισδιάστατων προβλημάτων ή των προβλημάτων με αξονική συμμετρία οι δύο συνιστώσες του διανυσματικού δυναμικού είναι μηδενικές. Παραμένει μόνο η κάθετη συνιστώσα στο επίπεδο του προβλήματος.

Συνοριακές συνθήκες

Τα περισσότερα προβλήματα τα οποία έχουν ενδιαφέρον για το μηχανικό καταλήγουν σε ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων. Το σύστημα αυτών των διαφορικών εξισώσεων πρέπει να λυθεί σε ένα χώρο Ω με την απαίτηση να ικανοποιούνται ειδικές συνθήκες στο όριό του Γ.

Σχήμα 1. Πρόβλημα συνοριακών τιμών

Οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες είναι απαραίτητες προκειμένου να εξασφαλίζεται η μοναδικότητα της πεδιακής λύσης. Γενικά μπορούμε να διακρίνουμε τις παρακάτω μορφές συνοριακών συνθηκών:

  • Dirichlet. Σε αυτόν τον τύπο των συνοριακών συνθηκών το διανυσματικό δυναμικό είναι επακριβώς γνωστό στο σύνορο π.χ. Α=0 (βλέπε σχήμα 2). Οι συνοριακές συνθήκες τύπου Dirichlet ονομάζονται και συνοριακές συνθήκες πρώτου είδους. Η πιο κοινή περίπτωση εφαρμογής αυτών των συνθηκών είναι στην περίπτωση που οι δυναμικές γραμμές του πεδίου δεν διαπερνούν το σύνορο Γ.
Σχήμα 2. Συνοριακές συνθήκες τύπου Dirichlet. Το μαγνητικό πεδίο στο σύνορο Γ θεωρείται μηδενικό. Για το συγκεκριμένο πρόβλημα όμως, η επιλογή αυτή, οδηγεί σε λανθασμένα αποτελέσματα. Γιατί;
Με άλλα λόγια οι συνοριακές συνθήκες Dirichlet ορίζουν την περιοχή του χώρου πέρα από την οποία το πεδίο μπορεί να αγνοηθεί. Για αυτό ακριβώς το λόγο η επιλογή του συνόρου Γ στο οποίο θα εφαρμοσθεί αυτή η συνθήκη είναι κρίσιμη και προσδιορίζει την ακρίβεια της πεδιακής λύσης αλλά και το υπολογιστικό κόστος. Σε γενικές γραμμές ισχύουν τα εξής:
    1. Αν στο πρόβλημα είναι παρόντα σιδηρομαγνητικά υλικά και μικρά διάκενα αέρα, όπως στις ηλεκτρικές μηχανές, η συνοριακή συνθήκη Dirichlet μπορεί να εφαρμοσθεί στην εξωτερική διάμετρο η οποία είναι μεγαλύτερη κατά περίπου 20% από τη χαρακτηριστική διάμετρο της διάταξης. Στις περιπτώσεις αυτές τα πεδία στο εσωτερικό της συσκευής υπολογίζονται με αρκετή ακρίβεια.
    2. Αν πρέπει να αναλυθεί το πεδίο στον αέρα, ή γενικότερα σε μη μαγνητικά υλικά, τότε συνήθως αρκεί η συνοριακή συνθήκη Dirichlet να ληφθεί στην περιφέρεια διαμέτρου 5 ή 6 φορές μεγαλύτερης από την χαρακτηριστική διάσταση της διάταξης.
  • Neumann (ή συνοριακή συνθήκη δευτέρου είδους). Αυτού του τύπου η συνοριακή συνθήκη καθορίζει την χωρική παράγωγο του διανυσματικού δυναμικού κατά την κάθετη διεύθυνση στο σύνορο. Συνήθως ισχύει
 (6)

το οποίο σημαίνει ότι οι δυναμικές γραμμές διαπερνούν κάθετα το σύνορο. Επίσης αυτού του τύπου η συνοριακή συνθήκη εφαρμόζεται στις διαχωριστικές επιφάνειες δύο διαχωριστικών μέσων και στην πλευρά του μέσου με την σχετικά πολύ μεγάλη μαγνητική διαπερατότητα. Η σημαντικότερη όμως εφαρμογή της συνθήκης Neumann προκύπτει αναγνωρίζοντας τις συμμετρίες (άξονες ή και επίπεδα συμμετρίας) του πεδίου και επιβάλλοντας τη συνθήκη σε αυτά τα σύνορα. (βλέπε σχήμα 3)

Με τον τρόπο αυτό μειώνεται το μέγεθος του προβλήματος και το υπολογιστικό κόστος. Από την άλλη πλευρά μπορεί να επιτευχθεί αυξημένη ακρίβεια στην επίλυση του προβλήματος χωρίς να αυξηθεί ο υπολογιστικός χρόνος και με τη χρήση των ίδιων πόρων του υπολογιστή.

Σχήμα 3. Συνοριακή συνθήκη Dirichlet στην ημιπεριφέρεια και Neumann στο επίπεδο συμμετρίας. Είναι φανερό, συγκρίνοντας αυτό το σχήμα με το προηγούμενο, ότι η χρησιμοποίηση της γεωμετρικής και πεδιακής συμμετρίας οδηγεί σε επίλυση προβλημάτων με πολύ μικρότερο υπολογιστικό κόστος.


 

  • Συνοριακή συνθήκη μικτού τύπου (ή τρίτου είδους ή Robin ή Cauchy): Η συνθήκη αυτού του τύπου είναι συνδυασμός των δύο προηγούμενων συνοριακών συνθηκών. Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου συνθήκης αποτελεί η σχέση:
 (7)

Εφαρμογή αυτού του είδους της συνθήκης βρίσκουμε σε προβλήματα δινορευμάτων.

  • Περιοδικές συνοριακές συνθήκες (ή binary): Στην περίπτωση κυλινδρικών συμμετρικών συσκευών όπως είναι οι ηλεκτρικές μηχανές υπάρχει η δυνατότητα εκμετάλλευσης όχι μόνον της γεωμετρικής συμμετρίας αλλά και της συμμετρίας του πεδίου. Σε κατάσταση λειτουργίας της μηχανής υπό φορτίο το πεδίο επαναλαμβάνεται περιοδικά ανά ένα ζευγάρι γειτονικών πόλων.(βλέπε σχήμα 4) Σε κενή λειτουργία η αντιπεριοδικότητα εκδηλώνεται ανά πόλο. Αυτή η μορφή περιοδικότητας περιγράφεται αλγεβρικά με την σχέση:
 (8)

για την οποία συνήθως ισχύει b = 0 και α = 1 ή α = -1.

Σχήμα 4. Εφαρμογή περιοδικής συνοριακής συνθήκης σε ηλεκτρική μηχανή. Τα ευθύγραμμα τμήματα με την μαύρη συνεχή γραμμή συνδέουν σημεία με μαγνητικά δυναμικά που ικανοποιούν την σχέση (8).

Πρέπει να σημειωθεί ότι αν σε κάποιο τμήμα του συνόρου Γ δεν προσδιοριστεί κάποια από τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες τότε για το τμήμα αυτό εφαρμόζεται εξορισμού η συνοριακή συνθήκη Neumann. Ωστόσο μια συνθήκη Dirichlet πρέπει να επιβληθεί σε κάποιο τμήμα του συνόρου προκειμένου το πρόβλημα να έχει μοναδική λύση.

Επίλυση προβλημάτων με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων

Το πλήθος των προβλημάτων για τα οποία διαθέτουμε λύσεις σε κλειστή και περιεκτική μορφή είναι αρκετά περιορισμένος και συνήθως πρόκειται για εντελώς ειδικές ή εξιδανικευμένες περιπτώσεις . Στις περισσότερες τεχνολογικές εφαρμογές συμβαίνει μάλιστα το εξής οξύμωρο σχήμα. Να διαθέτουμε ένα κομψό και συμπαγές σύστημα διαφορικών ή και ολοκληρωτικών εξισώσεων που περιγράφουν το πρόβλημα (όπως είναι το σύστημα των εξισώσεων του Maxwell) αλλά να μην έχουμε την δυνατότητα της αντίστοιχης κομψής λύσης ακόμα και για απλές γεωμετρίες. Σε αυτή τη δύσκολή κατάσταση αποτελεί διέξοδο η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων. Η βασική ιδέα της μεθόδου είναι αρκετά απλή και αποδείχθηκε αρκετά πετυχημένη. Το αρχικά μεγάλο και πολύπλοκο πρόβλημα τεμαχίζεται σε πολύ μικρότερες περιοχές. Σε αυτές τις μικρές περιοχές η πραγματική λύση, το πραγματικό διανυσματικό δυναμικό Α για τα προβλήματα του μαγνητισμού, προσεγγίζεται με πολύ απλούστερες συναρτήσεις. Στην απλούστερη των περιπτώσεων ο χώρος του προβλήματος διαιρείται σε τριγωνικά στοιχεία και θεωρείται ότι το διανυσματικό δυναμικό μεταβάλλεται γραμμικά σε αυτήν την περιοχή (τριγωνικά στοιχεία πρώτης τάξης). Όσο πιο μικρά είναι τα τριγωνικά στοιχεία, όσο πιο πυκνό πλέγμα κατασκευασθεί, τόσο η προσέγγιση της πραγματικής λύσης είναι ακριβέστερη. Με τον τρόπο αυτό το αρχικό σύστημα των λίγων διαφορικών εξισώσεων μετατράπηκε σε ένα πρόβλημα αλγεβρικών εξισώσεων με χιλιάδες ή δεκάδες χιλιάδες, όμως, αγνώστους. Ωστόσο εξελιγμένες τεχνικές επίλυσης αλγεβρικών συστημάτων, γραμμικών και μη γραμμικών, καθώς και η αύξηση της ταχύτητας επεξεργασίας των ηλεκτρονικών υπολογιστών επιτρέπουν την λύση αυτών των τεράστιων συστημάτων εξισώσεων σε μικρό χρονικό διάστημα. Πρέπει να σημειωθεί ότι η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων δεν εφαρμόζεται μόνο σε δυσδιάστατα προβλήματα αλλά, εξίσου καλά αν και με μεγαλύτερη πολυπλοκότητα, και σε τρισδιάστατα προβλήματα.

Ένας μεγάλος αριθμός προγραμμάτων χρησιμοποιεί την μέθοδο που, σε γενικές γραμμές, περιγράφηκε προηγουμένως για την επίλυση των πεδιακών προβλημάτων. Ωστόσο η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων δεν αφορά μόνο στα τριγωνικά στοιχεία ούτε στη γραμμική προσέγγιση της πραγματικής λύσης. Έχουν αναπτυχθεί και αναπτύσσονται συνέχεια εναλλακτικές δυνατότητες για τις οποίες ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να πληροφορηθεί από την σχετική βιβλιογραφία.

Το πρόγραμμα MagNet

Το πρόγραμμα MagNet είναι ένα ολοκληρωμένο υπολογιστικό σύστημα ανάλυσης, σχεδίασης και μελέτης ηλεκτρομαγνητικών διατάξεων και κυρίως ηλεκτρικών μηχανών και μετασχηματιστών. Μπορούμε να διακρίνουμε τρεις διαφορετικές λειτουργίες οι οποίες εκτελούνται από το πρόγραμμα.

    • εισαγωγή του μοντέλου που αντιστοιχεί στο φυσικό πρόβλημα (preprocessing)
    • υπολογισμός των πεδιακών μεγεθών με την χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, και
    • εξαγωγή και παρουσίαση των αποτελεσμάτων σε κατάλληλη μορφή (postprocessing).

Συνοπτικά οι δυνατότητες του MagNet είναι:

    • Εύκολη και γρήγορη δημιουργία δυσδιάστατων και τρισδιάστατων μοντέλων με την χρήση εξελιγμένων εργαλείων σχεδίασης και αρχείων δέσμης ενεργειών (script files).
    • Σχεδίαση ή εισαγωγή μοντέλων τα οποία έχουν δημιουργηθεί από πακέτα σχεδιαστικών προγραμμάτων (π.χ. αρχεία DXF).
    • Αυτόματη δημιουργία του δυσδιάστατου ή τρισδιάστατου πλέγματος με δυνατότητα βελτιωτικών επεμβάσεων από το χρήστη.
    • Δυνατότητα παραμετροποίησης της γεωμετρίας, των υλικών και των συνοριακών συνθηκών για προβλήματα σχεδιαστικών βελτιστοποιήσεων καθώς και για μοντελοποίηση της κίνησης ή της παραμόρφωσης των μοντέλων.
    • Εξελιγμένη επεξεργασία και εξαγωγή των αποτελεσμάτων σε μορφή δυσδιάστατων ή τρισδιάστατων γραφικών. Τα τελευταία επιτρέπουν την δυναμική αναπαράσταση των αποτελεσμάτων (κινήσεις των μοντέλων ή μεταβολές στο χώρο και στο χρόνο)

Ανάλυση μαγνητικών πεδίων μετασχηματιστή

Ηλεκτρικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά μετασχηματιστή

Ο μετασχηματιστής ο οποίος πρόκειται να αναλυθεί έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά:

Χαρακτηριστικά μετασχηματιστή
Ονομαστική τάση πρωτεύοντος 120 V
Ονομαστική φαινόμενη ισχύς 12 KVA
Ονομαστική συχνότητα λειτουργίας 50 Hz
Αριθμός ελιγμάτων πρωτεύοντος 100
Αριθμός ελιγμάτων δευτερεύοντος 50
Ρεύμα μαγνήτισης πρωτεύοντος 100 A
Υλικό πυρήνα: Μαγνητική λαμαρίνα Μ27

Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά στοιχεία μονοφασικού μετασχηματιστή.

Η γεωμετρία του μετασχηματιστή δίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.
 

Σχήμα 5. Γεωμετρικά στοιχεία του μετασχηματιστή.

 

Εισαγωγή γεωμετρίας του προβλήματος

Η εισαγωγή της γεωμετρίας του προβλήματος γίνεται με τη χρήση του προγράμματος DRAW2D. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε στο σχήμα 1 ο μετασχηματιστής παρουσιάζει συμμετρία σε δύο κάθετα επίπεδα και επομένως θα σχεδιασθεί και θα μοντελοποιηθεί το ένα τέταρτο (το τμήμα το οποίο είναι γραμμοσκιασμένο στο παραπάνω σχήμα).

Το περίγραμμα του μετασχηματιστή αποτελείται από απλές γραμμές. Το τμήμα που μοντελοποιήσαμε θα έχει την παρακάτω μορφή στην οθόνη του προγράμματος:

Σχήμα 6. Το γεωμετρικό περίγραμμα του μοντέλου μετά την εισαγωγή του με το πρόγραμμα DRAW2D

 

Κατασκευή πλέγματος.

Η δημιουργία του πλέγματος γίνεται με την εκτέλεση του προγράμματος MESH2D.

Στα σχήματα που ακολουθούν φαίνονται δύο πλέγματα με διαφορετικές πυκνότητες

Σχήμα 7. Το μοντέλο του μετασχηματιστή με πλέγμα το οποίο έχει 213 κόμβους και 388 τριγωνικά στοιχεία.

 

Σχήμα 8. Το μοντέλο του μετασχηματιστή με πυκνότερο πλέγμα (750 κόμβοι και 1432 στοιχεία).

 

Εισαγωγή και μοντελοποίηση μαγνητικών ιδιοτήτων υλικού του πυρήνα.

Το πρόγραμμα διαθέτει βιβλιοθήκη με ένα μεγάλο αριθμό χαρακτηριστικών καμπυλών μαγνήτισης (χαρακτηριστικές B-H) για μια πληθώρα υλικών. Στην περίπτωση που το υλικό του πυρήνα δεν περιλαμβάνεται στην βιβλιοθήκη πρέπει να δημιουργηθεί η χαρακτηριστική καμπύλη. Για το σκοπό αυτό απαιτείται ένα σύνολο από 15 μέχρι 20 σημεία της καμπύλης μαγνήτισης. Τα ζευγάρια των τιμών Β και Η εισάγονται σε ένα αρχείο δεδομένων. Το αρχείο αυτό το επεξεργάζεται το πρόγραμμα CURV2D και το νέο υλικό ενσωματώνεται στην βιβλιοθήκη υλικών του MagNet. Στην περίπτωση μας το υλικό του πυρήνα έχει την παρακάτω χαρακτηριστική καμπύλη Β-Η.

Σχήμα 9. Χαρακτηριστική καμπύλη μαγνήτισης του μαγνητικού υλικού του μετασχηματιστή.

Ορισμός και επίλυση προβλήματος.

Δοκιμή ανοικτού κυκλώματος

Το ρεύμα το οποίο κυκλοφορεί στο πρωτεύον τύλιγμα είναι 100 Α ή ισοδύναμα η μαγνητεγερτική δύναμη του τυλίγματος είναι (100 τυλίγματα) Χ (100 Α) = 10.000 At. Το δευτερεύον τύλιγμα προφανώς δεν διαρρέεται από ρεύμα.

Οι συνοριακές συνθήκες είναι ιδιαίτερα απλές. Θεωρώντας ότι το πεδίο περιορίζεται μόνο μέσα στον μετασχηματιστή επιβάλλουμε συνθήκες Dirichlet ( A=0) σε όλες τα ευθύγραμμα τμήματα του συνόρου εκτός από το κατώτερο οριζόντιο τμήμα. Στο τμήμα αυτό προφανώς οι συνοριακές συνθήκες είναι τύπου Neumann.  

Σχήμα 10. Προσδιορισμός των συνοριακών συνθηκών του προβλήματος.

Το πρόβλημα λύνεται με την χρήση του προγράμματος επίλυσης XYPM.

Επεξεργασία αποτελεσμάτων

Τα σχήματα που ακολουθούν προέκυψαν από την επεξεργασία των αποτελεσμάτων της επίλυσης του προβλήματος (πρόγραμμα POST2D).   

Σχήμα 11. Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου κατά την δοκιμή ανοικτού κυκλώματος.

 

Στο παραπάνω σχήμα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το σύνολο της μαγνητικής ροή διέρχεται από τον πυρήνα του μετασχηματιστή. Στην πραγματικότητα βέβαια μαγνητικό πεδίο, επομένως και δυναμικές γραμμές, υπάρχουν και στην περιοχή των τυλιγμάτων. Όμως το πεδίο είναι κατά πολύ ασθενέστερο (δύο τάξεις μεγέθους μικρότερο) σε αυτό το χώρο όπως μπορούμε να δούμε από το σχήμα 13και από τις τιμές των πεδιακών μεγεθών στην καμπύλη 2 του σχήματος 14.  

Σχήμα 12. Το πεδίο στο εσωτερικό του μετασχηματιστή όταν κυκλοφορεί το ρεύμα ανοικτού κυκλώματος .

 

Σχήμα 13. Έγχρωμη απεικόνιση του μέτρου του μαγνητικού πεδίου, Β, στο εσωτερικό του μετασχηματιστή. Στα σημεία τα οποία έχουν σημειωθεί με "+" έχει υπολογισθεί το μαγνητικό πεδίο και μπορεί να γίνει η σύγκριση με το την καμπύλη μαγνήτισης της μαγνητικής λαμαρίνας.

 

Σχήμα 14. Το σχήμα αυτό αποτελεί επεξεργασμένη απεικόνιση των αποτελεσμάτων του προγράμματος. Στα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν σημειωθεί με μαύρο χρώμα έχει γίνει ο υπολογισμός του μέτρου του μαγνητικού πεδίου, της κάθετης συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου, του μέτρου της έντασης του μαγνητικού πεδίου και του διανυσματικού δυναμικού. Η αρχή μέτρησης των καμπυλών και η θετική φορά τους δεικνύεται με τη θέση και τη φορά του βέλους.


Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του μετασχηματιστή κατά τη διάρκεια μιας πλήρους περιόδου μεταβολής του πεδίου. Το επόμενο σχήμα έχει προκύψει μετά από αλλεπάλληλες επιλύσεις του προβλήματος και για τιμές του ρεύματος ανοικτού κυκλώματος σε μια πλήρη περίοδο (0,02 sec).

Σχήμα 15. Μεταβολή της μαγνητεγερτικής δύναμης (F), της μαγνητικής ροής (Φ) και της αναπτυσσόμενης τάσης από επαγωγή (U) στο εσωτερικό του μετασχηματιστή. Για εποπτικούς λόγους τα παραπάνω μεγέθη παρουσιάζονται αδιάστατα (ανά μονάδα μέγεθος).
Δοκιμή βραχυκυκλώματος.

Στην περίπτωση αυτή και το δεύτερο τύλιγμα διαρρέεται από ίσο αλλά αντίθετου πρόσημου αριθμό αμπεροελιγμάτων. Δηλαδή το συνολικό διάρρευμα είναι μηδενικό. Οι συνοριακές συνθήκες παραμένουν οι ίδιες όπως και την προηγούμενη περίπτωση. Μετά την επίλυση του προβλήματος προκύπτουν οι παρακάτω γραφικές απεικονίσεις του πεδίου:  

Σχήμα 16. Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου κατά τη κυκλοφορία των ρευμάτων βραχυκυκλώματος στο εσωτερικό του μετασχηματιστή.

 

Σχήμα 17. Διανυσματική απεικόνιση του πεδίου στο εσωτερικό του μετασχηματιστή κατά το βραχυκύκλωμα.
Σχήμα 18. Έγχρωμη απεικόνιση του πεδίου στο εσωτερικό του μετασχηματιστή κατά την κυκλοφορία των ρευμάτων βραχυκύκλωσης. Στα σημεία τα σημειωμένα με "+" έχει υπολογισθεί το μέτρο του μαγνητικού πεδίου. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η σύγκριση των τιμών αυτών με τις αντίστοιχες τιμές του πεδίου κατά το ανοικτοκύκλωμα αλλά και με την καμπύλη μαγνήτισης.
Σχήμα 19. Στα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν σημειωθεί με μαύρο χρώμα έχει γίνει ο υπολογισμός του μέτρου του μαγνητικού πεδίου, της κάθετης συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου, του μέτρου της έντασης του μαγνητικού πεδίου και του διανυσματικού δυναμικού. Η αρχή μέτρησης των καμπυλών και η θετική φορά τους δεικνύεται με τη θέση και τη φορά του βέλους.


 

Εφαρμογές για κατανόηση και εξάσκηση

Ο μετασχηματιστής του οποίου οι γεωμετρικές διαστάσεις φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά :   

Ηλεκτρικά χαρακτηριστικά μονοφασικού μετασχηματιστή
Ονομαστική τάση πρωτεύοντος 220 V
Ονομαστική φαινομένη ισχύς 550 VA
Ονομαστική συχνότητα 50 Hz
Αριθμός ελιγμάτων πρωτεύοντος 412
Αριθμός ελιγμάτων δευτερεύοντος 206
Ρεύμα μαγνήτισης πρωτεύοντος 0,115 Α
Υλικό πυρήνα Μ27
Ονομαστικό ρεύμα (δοκιμή βραχυκύκλωσης) 2,25 Α
Ρεύμα πρωτεύοντος υπό φορτίο για ονομαστική φόρτιση 2,25 Α
Ρεύμα δευτερεύοντος υπό φορτίο για ονομαστική φόρτιση 4,3 Α

 

Σχήμα 21. Γεωμετρικά χαρακτηριστικά μετασχηματιστή

 

Για αυτόν τον μετασχηματιστή ζητείται να γίνουν τα εξής:

  1. Εισαγωγή της γεωμετρίας του προβλήματος
  2. Κατασκευή του πλέγματος των πεπερασμένων στοιχείων
  3. Να προσδιορισθούν τα χαρακτηριστικά των υλικών και οι κατάλληλες οριακές συνθήκες και να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα:
1. Κατά τη δοκιμή ανοικτού κυκλώματος να υπολογισθεί και να σχεδιασθεί το πεδίο κατά μήκος της μέσης γραμμής συμμετρίας του μετασχηματιστή.    
2. Στην συνέχεια να υπολογισθεί η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο για τις ακόλουθες τιμές του ρεύματος στο πρωτεύον α) 25% β) 75% και γ) 100% του ρεύματος μαγνήτισης.

2. W(25%)= 0,005 J, W(75%)= 0,037 J, W(100%)= 0,057 J

3. Να υπολογισθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πρωτεύοντος και για τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις και να γίνει σχολιασμός.
3. L(25%)= 12,0 H, L(75%)= 10,0 H, L(100%)= 8,7 H
4. Να υπολογισθεί η δύναμη που αναπτύσσεται στα τυλίγματα όταν κυκλοφορεί το ονομαστικό ρεύμα μαγνήτισης
4. Fx= 0,0007 Nt, Fy= 0,0003 Nt
5. Κατά τη δοκιμή βραχυκύκλωσης να υπολογισθεί και να σχεδιασθεί το μαγνητικό πεδίο όπως και στην περίπτωση 1. Να γίνει σύγκριση και σχολιασμός με το αντίστοιχο ανοικτού κυκλώματος.    
6. Να υπολογισθεί σε αυτήν την περίπτωση η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο.
6. W= 0,014 J
7. Να υπολογισθούν οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στα τυλίγματα κατά τη δοκιμή βραχυκύκλωσης.
7. F1x= -F2x= 0,269 Nt, F1y= -F2y=0,000 Nt
8. Να υπολογιστεί το πεδίο στην περίπτωση της ονομαστικής φόρτισης και να γίνει σχολιασμός.    

 

Αποτελέσματα υπολογισμών

Για το σχήμα 14:

Κατά μήκος της καμπύλης Μέτρο του μαγνητικού πεδίου Κάθετη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου Μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου Μαγνητικό δυναμικό
1
2
-
3
-

 
 
Για το σχήμα 19:

Κατά μήκος της καμπύλης Μέτρο του μαγνητικού πεδίου Κάθετη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου Μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου Μαγνητικό δυναμικό
1
2
-
3
-

 


Υπεύθυνος: Α. Γ. Κλαδάς
Υλοποίηση: Χ. Κουτρούλης
Επιμέλεια: Α. Χανιώτης